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質問

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バケツみたいな形　底辺と上部の辺の長さが異なる場合｛（円周率）×底辺の半径の二乗×高さ　です。｝の計算式だと上部の長さが異なっても同じ容量になってしまいますよね？
底辺と高さが同じバケツでも上部の長さが倍違ったら1.5倍くらい容量が変わってくると思うのですが？だれか解りやすく答えて頂ける方いませんか？
すみません　おバカで・・・

  • 質問者：中卒太郎
  • 質問日時：2012-02-01 04:03:35
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回答

底の円の半径をａ、上部の円の半径をb、高さをhとして
問題の図形を座標上で図示すると

Y＝｛(b-a)／h｝xχ＋ａ　の直線をｘ軸を中心に回転させた時に出来る図形を0からｈ（ｈ≠0)まで積分したもの。
数式で表現すると、π×∫［｛(b-a)／h｝xχ＋ａ]^2ｄχ　（ただしχは0からｈまで）・・・（☆）
実際に☆を計算すると
π×[(1/3)×｛(b-a)／h｝^2×χ^3＋２×ａ×｛(b-a)／h｝×(1/2)×χ^2＋(ａ^2)×χ］　（ただしχは0からｈまで）
＝π×｛(1/3)×h×(b-a)^2＋a×h×(b-a)＋(ａ^2)×h｝＝(1/3)×h×π×(ａ^2＋ａｂ＋b^2)・・・（答）

（別解)
円錐から底面ａの小円錐を引いて体積を求めると考える。
小円錐の高さをｘとすると
ａ：ｘ＝ｂ：(h+x)　ｘ＝ａｈ／(b-a)
円錐の体積はπ×(半径）×（半径）×（高さ）×１／３だから
（１／３）×π×b^2×［ｈ＋｛ａｈ／(b-a)｝]－（１／３）×π×ａ^2×｛ａｈ／(b-a)｝
＝（１／３）×π×｛ａｈ／(b-a)｝×（b^2－ａ＾2)＋（１／３）×π×b^2×ｈ
＝（１／３）×π×ａｈ×(b+a)＋（１／３）×π×b^2×ｈ＝(1/3)×h×π×(ａ^2＋ａｂ＋b^2)・・・（答）

ただし、別解の方法で考えると、ａとｂが等しい時（図形的には円柱の時）はｂ－ａ＝０となりこれらは成立しないので、場合分け（今回は省略)が必要となります。

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回答

「円すい台」と呼ばれる立体です。
アナログな方法だと、
大きな円すい（とんがり帽子型）から上部の円すいを切り取った残り　という手順で計算します。

別のやり方としては、便利な公式が存在します。
下部の半径がa、上部の半径がb、高さhの円すい台の体積Vは
V＝(a×a＋a×b＋b×b)×h×π÷3
で求められます。

===補足===
nではなくπ（パイ）つまり円周率です。小学校だと3.14、中学生以上はπ（パイ）で計算します。
「÷3」は円すいの体積の公式には必ず出てきます。

底辺20㎝天辺30㎝高さ30㎝の体積は、底の半径10㎝上部の半径15㎝高さ30㎝ということですので、

(10×10＋10×15＋15×15)×30×π÷3
＝(100＋150＋225)×30×π÷3
＝475×30×π÷3
＝4750π（立方センチメートル）

πを3.14で計算すると
4750×3.14＝14915（立方センチメートル）＝14.915リットル

  • 回答者：匿名 (質問から13時間後)
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

ご回答ありがとうございます。
とてもわかりやすくしかも私の知りたい実際の計算までして頂き大変恐縮です。ちなみにこのレベルの問題だと高校生レベル？もしかして中学生レベルですかね？（笑）ありがとうございました！

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