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日常の数学
食玩などで７種類のアイテムがあるとします。
それぞれ１／７の確率でランダムに出ますが、選んで買うことはできません。
7種類揃うまでに、平均で何個買うことになるでしょうか。
計算方法もあわせてお願いします。

  • 質問者：匿名
  • 質問日時：2010-05-11 22:53:47
  • 1

ベスト回答

最初は何が当っても良いから、平均も何も、１つ買えば良い。この数を E1 とする。次は６／７の確率で、まだ持ってない食玩が当るので、

　　　　n
E2 ＝ Σ　ｉ・(６／７)・(１／７)＾(i-1)
　　　　i=1

E2 は、２種類が揃うまでに買う平均の個数となる。ここで　ｎは、何個まで諦めずに買い続けるかの上限である。余程の異常者でもない限り　ｎ＝１０００　ぐらいで十分だと思う。言うまでもなく、１０００個買っても、２種類目の食玩を手に入れられない不運な者もいる可能性は排除できない。

話を元に戻すと、３種類目が揃うまでに買う平均個数は、

　　　　n
E3 ＝ Σ　ｉ・(５／７)・(２／７)＾(i-1)
　　　　i=1

同様に、４種類目、５種類目、・・・、７種類目の式は

E4 ＝ Σ　ｉ・(４／７)・(３／７)＾(i-1)
E5 ＝ Σ　ｉ・(３／７)・(４／７)＾(i-1)
E6 ＝ Σ　ｉ・(２／７)・(５／７)＾(i-1)
E7 ＝ Σ　ｉ・(１／７)・(６／７)＾(i-1)

となる。（ｎ と ｉ＝１ は省略した）したがって、７種類が揃うまでに買う平均個数 Ｘ は、

Ｘ ＝ E1 + E2 + E3 + E4 + E5 + E6 + E7

となる。式が上手く変形してシンプルな形にならないので、計算は、ｎ＝１０００ として、ＰＣのプログラムで計算すると、

Ｘ＝１８．１５

となるようである。つまり、平均１８．１５個買えば、７種類揃うらしい。　ｎ＝１００００にしても結果は変わらなかった。

言うまでもなく、１８．１５個は平均値なので、１９個買ったが７種類揃わなかったと言う苦情はお断りである。

===補足===
＞式の意味について、確認させてください。
＞仮に7種類をABCDEFGとし、この順番に入手したものとします。

順番通りに入手する確率ではないです。

＞E2は、（ｎ－１）回目までAが続き、ｎ回目にＢ～Ｇのどれかを入手する確率ｘ試行回数ｎを、
＞累積したものとして理解しました。

そう考えました。１種類目を持っている段階から２種類目が平均何回買うと手に入るかの回数になると思います。

＞次のE3は、E2までに2種類(A,B)が出ているという前提で、他の5種類が出る確率ということ
＞で良いでしょうか。

大体、そんな感じです。Ｅ１～Ｅ７の和の式が綺麗でシンプルな式に変形出来れば良かったのですが、上手くいかなかったので、数値計算する事にしました。テスト問題ならば、必ず綺麗でシンプルな式になる所ですが・・・。

この回答の満足度
　　
とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

詳しい説明ありがとうございます。
思いつきで質問した問題に、予想以上に本格的な回答を頂き、驚いています。
内容を理解するのに、1時間近くかかってしまいました。
ｎを∞と想定して、積分の問題に発展させると、一般化できそうな雰囲気ですね。
（私の手には余りそうですが）

式の意味について、確認させてください。
仮に7種類をABCDEFGとし、この順番に入手したものとします。
E2は、（ｎ－１）回目までAが続き、ｎ回目にＢ～Ｇのどれかを入手する確率ｘ試行回数ｎを、累積したものとして理解しました。
次のE3は、E2までに2種類(A,B)が出ているという前提で、他の5種類が出る確率ということで良いでしょうか。

補足ありがとうございました。

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