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数学の問題
「2で割ると１余り、3で割ると2余り、5で割ると4余る最小の数は？」という問題は
２，３，５の最小公倍数である３０－１＝２９が答えというのはわかりますが、

「2で割ると１余り、3で割ると2余り、5で割ると3余る最小の数は？」という問題の場合はどのように解いたら良いかわかる方、教えてください。

答えだけではなく、式（又は考え方）もお願いします。

  • 質問者：匿名
  • 質問日時：2010-05-10 22:41:51
  • 0

回答してくれたみんなへのお礼

みなさん、回答ありがとうございました。
たまたま思いついた問題だったのですが、ちゃんと解放があるものですね。
想像を超えて複雑な式を示して頂き、楽しめました。

ベスト回答

求める数をXとして、問題文の条件を数式（合同式）で表現すると、それぞれ、
X≡１(mod2)　・・・(1)
X≡２(mod3)　・・・(2)
X≡３(mod5)　・・・(3)

合同式の性質を使って(1)(2)はそれぞれ以下のように変形できる
X＋１≡0(mod2)　・・・(1)'
X＋１≡0(mod3)　・・・(2)'　(1)'(2)'から(Ｘ＋1)は６の倍数・・・(☆)

同様に(3)を変形すると
X＋１≡4(mod5)　
☆のことに着目して両辺に６を足すと
X＋７≡10≡0（mod5)　・・・(3)'

☆より(Ｘ＋1)は６の倍数だから、(1)'(2)'の両辺に６を足しても合同式の性質は失われない。すなわち、
X+７≡0（mod2)（mod3)　・・・(4)
(3)'と(4)のことから（X+7）は２，３，５の最小公倍数i.e.30
ゆえに、X＝30－7＝23・・・（答）

無理矢理数式で表現した感がなきにしもあらずですが、どうでしょうか。

===補足===
ベスト回答に選んでいただきありがとうございます。
本編でも書きましたが、数式を無理に使っている感がなきにしもあらず、ということをお断りしておきます。
今回くらいの問題であれば、他の方が書いていらっしゃるように、周期性に着目した方が確実かも知れませんし、２，３，５が互いに素であることに着目した方がエレガントかも知れません。一応補足まで。

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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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回答

もう正解が出ているので、どうでも良いと思うが・・・

「2で割ると１余り、3で割ると2余り、5で割ると3余るの数は？」の数 Xは、

X　＝　３・５・（２ｉ＋１）＋２・５・（３ｊ＋２）＋２・３・（５ｋ＋３）　　（ｉ，ｊ，ｋ は任意の整数）

と表せる。

[２，３，５が互いに素で、３・５≡１ （ｍｏｄ２）、２・５≡１ （ｍｏｄ３）、２・３≡１ （ｍｏｄ５） でなかったら、こう簡単には行かない。もう少し複雑になる。］

これを少し変形すると、

Ｘ ＝ ３０・（ｉ＋ｊ＋ｋ）＋５３

（ｉ＋ｊ＋ｋ）は、任意の整数のを取りうるので、Ｘ が最小の自然なる適当な整数の値を取れば良い。それは－１で、Ｘ は ２３ となる。

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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

回答

このような問題では、周期性を見つけることが大切です。周期は2,3,5の最小公倍数の30です。
条件を満たす最小の数は書き出して見つけるのが良いと思います。書き出すのは、一番大きい倍数（この場合、５で割ると３余る数）です。
3, 8, 13, 18, 23, 28
この中で他の条件を満たすものは23ですね。この問題の答は23です。

もし、問題が続いていて「2番目に小さい数」を求める場合は、周期性より30足して53になります。

  • 回答者：あおひととき (質問から49分後)
  • 0
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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