鹿は日本国の定める天然記念物。
これは、日本国の保護下にある「準国有財産」とほぼ同じ事。
国の許可を取らずに国有財産を勝手に殺したらそりゃ捕まるでしょう。
その辺に居るアリやゴキブリは国や個人・法人の所有物ではないので、
「権利の侵害」が発生しないから駆除しても誰も怒らないし、
法律にも違反しないので罪にはなりません。
ちなみに、殺虫剤メーカーの研究所や大学などで実験用に飼育されている
アリやゴキブリを部外者が勝手に殺したら、
「器物損壊」「威力業務妨害」という罪で警察に捕まります。
また、昆虫コレクターなどが飼育しているアリやゴキブリを勝手に殺すと、
これまた「器物損壊」で警察に捕まります。
===補足===
書き忘れてました。
鹿を殺すのに「弓矢」を使ったそうなので「銃刀法違反」
狩猟免許を持っていなかったそうなので「鳥獣の保護及び狩猟の適正化に関する法律違反」
という罪を犯したことになります。
アリやゴキブリを殺すのに「狩猟免許」は要らないが、
鹿やイノシシを殺すには「狩猟免許」が必要です。