以下の点で(法律的にも)不適切だと思われます。
①現在の会社の社内規則に「副業の禁止」の項目があると思います。現時点で は、今の会社に在籍しているのですから、会社とあなたとは、雇用契約が結 ばれているわけであり、この契約を遵守してない(副業の禁止)ことになり
現在の会社が訴えれば、必ず負けます。
②やめる際、社会保険庁(新しい会社経由で)に提出する離職票が必要です。
そうしないと、厚生年金の会社負担分の年金料金が不明瞭になり、あとで
あなたにとって国民年金の受給トラブルになる恐れがあります。また、新し い会社に転職する際も、離職票の提出は必ず求められますから、今の会社か ら、離職票をもらうためにも、やめることが必要です。
尚、基本的には、退職願いを提出してから、翌日にはやめられることは
法律(憲法の職業選択の自由)で守られています。しかし、社会慣習的には
退職願い提出後、約1ヶ月間は、前の会社にいる(引継ぎなど)のが通則な ので、就業規則に書かれている場合が多いです。
内示がでれば、出社日(及び必要書類)に関しては、新しい会社に相談すべ
きだと思います。